MATEMATIKA KELAS 9 MATERI PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

 

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

 Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

dengan  

Berikut adalah beberapa contoh persamaan:

Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

 1. Cara Memfaktorkan

Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat

$ax^{2}+bx+c=0$ menjadi (rx-p) (sx+q)=0

 

Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan kuadrat $6x^{2}+13x-5=0$ adalah …

 

a. $-\frac{5}{2}$atau  $\frac{1}{2}$

b. $-\frac{5}{2}$ atau  $\frac{1}{3}$

c.  $\frac{5}{3}$  atau  $-\frac{1}{2}$

d.$\frac{5}{2}$  atau  $-\frac{1}{3}$

e.  $-\frac{5}{3}$  atau  $-\frac{1}{2}$

 

Pembahasan:
Persamaan kuadrat  dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan

$6x^{2} + 13x-5 = 0$
$(3x-1) (2x+5) = 0$
$3x = 1$ atau $2x = -5$
$x_{1} = \frac{1}{3}$ atau $x_{2} = -\frac{5}{2}$

Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah $\left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}$

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti

$(x+1)^{2}$ atau $(2x-3)^{2}$.

Metode ini mengubah bentuk $ax^{2}+bx+c=0$ menjadi bentuk:

Contoh Soal Kuadrat Sempurna

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^{2}-2x+1=7$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

 Pembahasan:

$x^{2}-2x+1=7$
$(x-1)^{2}=7$
$(x-1)^{2}=\sqrt{7}$
$x = \pm \sqrt{7} + 1$
$x_{1} = \sqrt{7}+1$ atau $x_{2} = -\sqrt{7}+1$

Sehingga HP = $\begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}$

 

3. Rumus ABC

Metode ini memanfaatkan nilai $( {a, b,} )$dan $( c )$ dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar$( ax^{2}+bx+c=0 )$. Nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

Contoh Soal Rumus ABC

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $( x^{2}-4x+2=0 )$ dengan rumus ABC!

Pembahasan:

Dari $( x^{2}-4x+2=0)$ diperoleh $( a=1;b=-4;c=2)$
$( x_{1,2}) = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{- \left( -4 \right) \pm \sqrt{ \left( -4 \right) ^{2}-4 \left( 1 \right) \left( 2 \right) }}{2 \left( 1 \right) } )$
$( \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2})$

Jadi, $( x_{1}=2+\sqrt{2} )$ atau $( x_{2}=2-\sqrt{2} )$

 

Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.

Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar

Persamaan kuadrat berbentuk $( ax^{2}+bx+c=0 )$ dan memiliki akar-akar $( x_{1} )$ dan $( x_{2} )$ bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:

1. $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
2. $x_{1.}x_{2}=\frac{c}{a}$
3. $x_{1}-x_{2}= \pm \frac{\sqrt{D}}{a} )$
4. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-2x_{1}x_{2}$
5. $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) \left( x_{1}-x_{2} \right)$
6. $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}+x_{2} \right)$
7. $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}-x_{2} \right)$
8. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
9. $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$
10. $\frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$
11. $\left( x_{1}-x_{2} \right) ^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-4x_{1}x_{2}$

Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar

Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .

1. Persamaan kuadrat $( 2x^{2}-x-4=0 )$ memiliki akar-akar $( x_{1} )$ dan $( x_{2} )$. Nilai dari $( \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} )$ adalah …

a. $- \frac{17}{8}$

b. $\frac{17}{8} )$

c. $-\frac{1}{4}$

d. $(4$

e. $\frac{15}{8}$

 

Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $( 2x^{2}-x-4=0 )$ pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari

$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2$   dan   $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$

 2. Persamaan kuadrat 

$(x^{2}- \left( a+1 \right) x-a-6=0$ memiliki akar-akar  $x_{1} dan  x_{2}$  . Jika  $x_{1}+x_{2}=4$, maka nilai dari $x_{1}.x_{2}$ adalah . . .

a. -9
b. -3
c. 0
d. 3
e. 9

 

Pembahasan

Untuk mencari nilai $a$ menggunakan rumus:

Sehingga nilai $x_{1}.x_{2}$ dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai $a$

Diskriminan dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Apakah Edufriends melihat rumus $b^{2}-4ac$ di atas? Rumus itu disebut dengan diskriminan (D) dari sebuah persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ . Hubungan diskriminan dengan sifat akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Dari tabel di atas dapat dipersingkat bahwa hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan diskriminan adalah sebagai berikut:

• Jika D≥0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, dengan rincian:
  • D>0 : akar-akarnya nyata dan berlainan
  • D=0 : akar-akarnya sama/kembar
• Jika D>0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau imajiner

Contoh Soal Diskriminan dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

1. Persamaan kuadrat $x^{2}+ \left( \text{m – 2} \right) x+2m-4=0$ tidak mempunyai akar-akar real. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah…
a. m ≤ 2 atau m ≥ 10
B. m ≤ -10 atau m ≥- 2
C. m < 2 atau m > 10
D. 2 < m < 10
E. -10 < m< -2

Pembahasan

2. Persamaan $\left( 3m-7 \right) x^{2}-5x-1=0$ mempunyai akar-akar riil berkebalikan, maka nilai m adalah ….

a. -2

b. $-\frac{1}{2}$

c. $\frac{1}{2}$

d. 2

e. 3

 

Pembahasan